7月23日，两位年轻的中国数学家邓煜、王虹在美国费城举行的国际数学家大会上双双获得菲尔兹奖。这也是中国籍数学家首次获此殊荣，国内一片沸腾。
很多人好奇，天才如何诞生，又经历了怎样的培养？
王虹的求学之路并非一路坦途，在接受媒体采访时，她提及博士导师拉里·古斯从不给出正确答案，或直接说“你错了”。即便自己提出明显错误的方向，也会顺着她的思路往下推演，推到逻辑出现矛盾的地方，让她自己察觉问题出在哪。她评价，这种引导式纠错“逼出了独立科研的脑子”。
另一位获奖者邓煜从小就展现出过人的数学天赋，但他在采访中回忆起自己对数学产生兴趣的时刻，不是在书房里正襟危坐，也非在补习班里奋笔疾书。而是每个周末，父亲带他去爬山的途中，沿路拆解趣味数学题目。
两位获奖者的成长轨迹令不少人感慨，培养顶尖的数学人才，并无高效的“绝招”，也没有标准范式。
这也是卡耐基梅隆大学数学系华裔教授、国际奥林匹克数学竞赛（以下简称IMO）美国国家队原总教练（注：2023年卸任）罗博深的观点。长期位于数学竞赛和拔尖人才培养的中心，他越来越警惕竞赛催生出的刷题式培训。在他看来，数学教育最重要的，并不是让一个人会做题，而是培养其愿意独立花很长时间思考的能力。
罗博深接受采访。 李大武 摄
7月中旬，我们在上海见到了目前担任IMO基金会发展部副主席的罗博深，和他聊了聊竞赛、数学与教育。
很多年以后，他仍然清晰地记得属于自己的幸运时刻。那是个初中同学父亲组织的非正式数学小组，每个周末他和几个同学吃着披萨探索数学，通过独立思考、合作讨论与讲题训练。在这个“披萨数学俱乐部”里，他开始真正爱上数学和思考。
以下是罗博深的讲述。
披萨、伙伴和数学
我读小学时，数学成绩比同学略好一些。并不是因为我特别热爱数学，而是妈妈会在家辅导我。初中时我发现，花很长时间思考一道题，最后把它想明白，这种感觉常常令我着迷。
这种特殊的成就感，我只能在数学中得到。基础教育阶段，美国许多课程的考试主要考查记忆力。比如，列出十种植物、说出第二次世界大战发生在哪几年。但数学却不一样：题目可能写得很短，但需要想很久。
现在很多习惯刷题的孩子可能没有体验过这种感受。因为在做题之前，已经有人教过他们怎么做。
许多老师上课会习惯说：“这道题，我给你们介绍最快、最顺的解法。”学生先看老师做，然后套用老师的方法大量练习。看似学得很快，但失去了宝贵的独立探索过程。有些老师也会课堂提问，但如果每次提问，最快回答的总是别人，很容易失去信心。
我很幸运，小时候没有处在这样的环境，并且遇到了一个令我至今难忘的“课堂”。
1994年，我读六年级，学校转来一位八年级的新同学。她的父亲发现学校没有学生参加过美国中学生数学竞赛（MATHCOUNTS），而她的女儿此前参加过比赛。这位父亲主动向学校提出担任教练，他希望女儿能有同伴一起学习数学。学校就此组织了十几个学生，我是其中之一。
每个周末，这位主业是机械工程师的父亲，会在他的办公室里义务教学。他并非专业教师，也不一定每次都提前备课，他只是陪着我们学习。我们每次待两三个小时，他会发给每个人一份往年的竞赛试卷。
IMO从1959年开始举办，当时已经积累了许多年的旧题。那是20世纪90年代，没有电子版试卷，旧题需要从习题集上复印而来。
试卷发下来后，没有讲解和提示，所有人花40分钟独立思考。这些题很难，很多题型从来没有学过，我就像直接进入一场完全没有准备的比赛。
40分钟后，他会开心地招呼大家：“披萨到了，我们来吃披萨吧！”
披萨是他买的，学生们不需要付钱。大家一边吃，一边讨论题目。他会提问：“第一题，大家得到什么答案？”有人说“42”，他就对照答案，然后问：“谁愿意解释，你是怎么得到42的？”然后选一名同学到白板前讲解。
他经常说：“如果你会做这道题，却不能把它讲清楚，将来是没有用的。”在这位身处职场的工程师看来，工作中不能只想出解决问题的办法，还要能够向别人解释清楚。
一个同学讲完后，他还会接着问：有没有其他不同的方法？如果有，另一个学生再上去讲。在整个过程中，基本上是学生教学生，他只是在一旁监督指导。
如果有人说“我比你聪明”这样的话，他会立刻制止。在这个兴趣小组里，他从来不强调谁做得最好，而是说“我们是一个一起玩、一起学习的团队，不是为了看谁最聪明”。
这是我最早的关于奥数的体验。没有人提前给出示范解法，大家各自思考，再围着披萨和白板讨论。如今，有些参加数学竞赛的学生家长抱着竞争心态，觉得自己的孩子如果掌握了“秘密技巧”，不愿意邀请同学一起学，只想让自己的孩子排在最前面。
但这位教练的女儿后来进入斯坦福大学读本科，在麻省理工学院完成博士学业，成为一名大学数学教授。与他人分享并没有耽误她的成长，我甚至认为，正是因为她拥有一群共同学习的伙伴，才一直保持对数学的热情。兴趣需要环境，也需要同伴。
在“披萨数学小组”的训练下，我在1999年拿到了IMO银牌。
我给很多人讲过这个故事，一个好的数学环境并不神秘。家长不一定要是大学数学系教授，也不一定是专业教师。愿意花时间，可能再买几张披萨，就能让一些孩子坐在一起思考。
最好的数学启蒙者，可能恰恰不是能立刻给出正确答案的专业人士。我有三个孩子，他们的数学都不错。但我不教孩子数学，陪他们学习的是我太太。她不是数学专业出身，许多题目需要和孩子一起思考。
当主教练前，我说成绩可能会退步
2013年，参加面试IMO美国国家队的主教练时，我告诉美国数学协会，如果让我来带队，美国队的排名可能会下降，因为我不会把全部目标放在比赛成绩上。所幸，他们并不反对。
IMO比赛中，每个国家队最终有6名学生入选，但每年大约有60人参加集训队。这些孩子已经经过层层选拔，都非常聪明。我关注的不是怎样让这6个人在备赛的2个月内多拿几分，而是这些孩子20年以后在做什么。
我希望未来能在新闻中看到他们。比如有人推动数学研究，有人进入前沿科技领域，有人创办知名企业，有人在其他地方作出真正的贡献。
所以，我改变了训练方式。组建教练团队时，我会刻意找曾经参加过奥数训练、后来进入其他领域的人。我想让学生看到，这些教练曾经和他们一样坐在竞赛训练的教室里，后来，他们用数学解决完全不同的问题。
大约每隔两天，我们会安排一次晚间讲座，内容可能与IMO无关，比如数学在生物学中的应用、数学与人工智能等等。如果只有2个月备赛时间，最有效的夺冠路径当然是不断训练竞赛技巧，把所有常见方法练得非常熟练。
但我不希望学生的世界里，最后只剩下IMO的6道题。
我还向10个国家发出邀请，希望他们各派2名学生参加美国的集训，费用由我们承担。许多被邀请的国家都是美国队在比赛中的强劲对手，被邀请来的学生中，也有人在比赛中超过美国选手，获得金牌。
有人质疑：为什么要花钱帮助其他国家？
这时，我会想起初中时代那些吃披萨的午后。
我的目标不只是让美国队赢。我希望让美国最优秀的60名学生更早意识到，世界比自己的国家更大，有不同的文化和不同的人。
我带领的美国队目前一共拿过四次团队第一。我上任第二年，第一次获得了IMO团体第一的成绩。这些成绩不能都归功于我，毕竟，在我成为主教练前，学生们也接受其他老师的培养。
但第一次夺冠的那届队员给我留下了很深的印象。他们是很好的朋友，彼此支持。IMO虽然是团队参赛，但比赛形式是由六名队员分别答题，最后把个人分数相加构成国家队总分。对一部分参赛者而言，自己拿到金牌，或许比国家最终排在第几更重要。
考试一共6道题，从易到难。通常答对5道题，就有机会获得金牌。一个学生如果已经确定自己达到了金牌分数，可能就不会再拼尽全力挑战最难的题目。
但那届队员为了拿到团队冠军，他们倒着写试卷，把最好的精力留给最难的题。两天全程9小时的比赛里，他们不会因为个人已经稳拿金牌而放弃解题。
罗博深。（受访者供图）
将来会有人愿意和你的孩子结婚吗
大约十年前，我遇到一名家长。他告诉我，为孩子找了位奥数成绩很好的私人教练，一对一授课，效率特别高。
我问：“一次课多久？”
他说：“大约两个小时。”
“两个小时做什么？”
“可以做20道题。”
我非常吃惊。要知道，IMO比赛赛程有两天，每天4.5小时答题时间只需答3道题。两小时如何思考20道奥数题？
凭我的经验，大部分时候，教练给出每道题的最快、最顺利的解法。学生看完示范后，再用相同方法练习一批同类题目。
这当然也是一种学习。但它训练的主要是识别题型、记住方法并快速调用，不是面对未知时寻找方向。如果一个孩子原本的数学成绩不突出，通过长期训练掌握方法，甚至真正建立兴趣，同样值得肯定。
不过，大多数时候，这种训练只是为了获得申请大学的入场券。美国的大学录取没有完全公开、清晰的量化标准。顶尖学校给出的要求常常是希望申请者全面发展。
总有人希望找到一条更具体的路径。家长们观察已经被录取的学生，发现其中很多人数学都很好，甚至入选IMO国家队，于是把申请入学拆解成更具体的目标，总结出一条进入名校的标准路线，并针对性训练。
只要出现标准，就会有人蜂拥而至，用这把“尺子”测量孩子，再加以改造。但这样的路径其实只是机械的“零件组装”。名校需要某一种能力，就给孩子装上“最好的胳膊”；看到另一项要求，又装上“最好的腿”……每个部分单独看都很优秀，但最后得到的未必是一个有机生长的人，更像是组装出的“弗兰肯斯坦”，死气沉沉。
总有为孩子升学而焦虑的家长问我，什么样的孩子才是未来真正需要的人才。我的答案或许令很多人出乎意料：你可以想一想，将来是否有人愿意和你的孩子结婚？
如果孩子的考试分数很高当然很好，但一个人是否值得信任，是否真正关心别人，是否能够与人长期合作，很难从试卷看出来。
一个人很聪明却完全不关心他人，没人愿意和他共同生活。如果他只懂得吸引别人，却没有真正的能力，也承担不起共同生活的责任。
是手段，而非目的
虽然对排名和筛选很不认同，但我并不反对奥数竞赛。
足球有世界杯，国际象棋有高水平比赛，数学当然也可以有竞技。学校的基础课程需要适合多数学生，保证基本水平；竞赛则可以提供另一条道路，让愿意挑战自己的人看看能走多远。
我不太喜欢“数学天赋”这个词，也不喜欢社会过度追捧“天才”，更不认为每个孩子都要证明自己是不是“天才”。
有人计算速度极快，能够在很短时间内看到复杂结构。拥有这种罕见能力，可以被称作某种“天才”。但更多的人小时候从未真正接触需要独立思考的数学。他们在课堂上看到前排同学比自己回答得快，就得出结论：我不够聪明，我不适合数学。
我初中时的那位教练会不断追问：“还有没有其他想法？”即使一种方法很慢、很绕，也值得拿出来讲一讲。或许在另一个问题里，它反而是最好的方法。
真正的数学并不只属于前1%的人。推理、逻辑，面对陌生问题不断检验自己的想法，这些能力每个人都应该学习。
我的小女儿最近在使用我们团队制作的题库网站，汇集了往年AMC和AIME的题目。（注：AMC和AIME是美国数学协会主办的一系列数学竞赛中的两个关键环节。它们同属一个完整的晋级体系，是选拔美国国际数学奥林匹克国家队的重要途径。）原来的系统会按照正式考试设计，设置答题倒计时，时间结束后页面会自动跳转结算分数。
她问我：“能不能增加一种不计时模式，仍然在线答题，也能查看对错，但可以慢慢想。”
我听到这个想法后很高兴。她参加测试不是为了获得分数，而是对题目本身感兴趣，所以才希望拥有更多思考时间。我们应该把奥数作为挑战自我、培养思考和判断力的方式，它应该是手段，而非目的本身。
在我作为参赛选手参加IMO的年代，没有培训班，甚至没人知道应该如何系统地准备。那些赛场上表现亮眼的选手，只是享受花大量时间思考从未见过的题目的过程。
如果一个人真正喜欢一件事，会愿意为此付出大量时间。直到现在，这种体验都是我最喜欢的状态。如今，我很少做数学的题，但我仍然喜欢花大量时间独自思考。
我现在想得最多的是：如果AI能够完成许多事情，人类究竟应该做什么？
“Thought+Full”
最近几年，每年都会有人把IMO的比赛题目输入不同的AI，不仅看它们的解题正确率，也会判断AI写出的证明是否成立。结果显示，AI在速度和正确率上超过大多数人类选手。
在人类的赛场上，IMO的满分十分罕见。根据 IMO 官网历届数据汇总，1959年至2025年的66届比赛中，满分率约为1.37%。
今年7月15日至16日，第67届IMO在上海举行，题目涵盖代数、几何、数论和组合四个领域，每题7分，满分42分。来自120多个国家和地区的685名学生参加竞赛，满分获得者只有7人。
去年，有AI公司用内部模型测试IMO题目，得到35分。一年后，全球多个AI大语言模型参赛并获得42分满分成绩，算力相较去年也节约许多。
AI技术进步飞速，机器人和算法能够完成越来越多的工作。那未来还需要人类做什么？或者说，人的生命意义在哪里？
过去很多年，我一直在教非常聪明的年轻人。但聪明并不天然地伴随道德。美国有一名曾经在奥数中表现很好的学生，后来因为枪杀他人入狱。还有很多聪明人利用各种先进技术攫取巨大利益，他们所做的事或许并不违法，但并没有利于他人，只为了让自己赚更多钱。
不久前，一名加州大学伯克利分校的计算机教授联系我，想讨论怎样用AI证明更复杂的数学定理。我问他，为什么要发展这种能力。他说，这是好事，AI能够降低研究成本、帮助教授更快发现新知识。
我继续问，为什么研究成本降低一定是好事？如果任何人都能低成本做研究，一个想制造更危险武器的国家或组织也同样受益，怎么办？他沉默了。
奥数所能体现的独立思考、坚持、逻辑推理和创造力很重要。但如果所有时间都投入题型训练，牺牲个人的合作能力、人文素养和真实生活，这种代价在AI时代会越来越大。
很多时候，我们总想把力量做得越来越大，却没有认真考虑过它究竟指向哪一种未来。
罗博深（受访者供图）
在我看来，世界上最有价值的人，是既利他且喜欢独立思考的人。这样的人通常愿意运用自己的能力帮助别人。我给这种人概括了一个特质：Thought+Full（体贴他人且充分思考），英语单词thoughtful有体贴、关心他人的意思。我把它拆成Thought+Full，强调一个充满思考的头脑也应关心他人。
Thought+Full的两个原则可以看作矢量。愿意帮助别人，是方向；独立思考和真实能力，是力量。只有善意，没有能力，可能无法解决复杂的问题；只有能力，没有正确方向，可能跑得很快，却不知道自己正在奔向哪里。同时具备力量和方向，人才能真正行动起来。
如果一个人数学很好但不解决现实问题也不帮助他人，对我而言没有意义。我不想培养只会做数学题的人。
关于数学的教育实验
四年前，我建立了一个在线教育项目LIVE，希望把“培养Thought+Full的人”这一想法落地。
我们在世界各地寻找高中生，让他们两人一组，在线给年龄较小的学生教数学。高中生平时很忙，照理会把时间用于提升自己，如果愿意为他人工作，至少证明有利他之心。
授课对象是小学高年级和初中生。他们学习数学，同时也观察授课者怎样思考、合作和关心别人。每堂课由两名高中生一起教授，低龄学生能看到，真正的朋友可以共同完成困难的事情。
作为授课者的高中学生，也在教学中学习表达、说服、合作和建立影响力。我们会尽量把来自不同城市，甚至不同国家的两名高中生组成搭档，让他们建立跨地区的关系。
我发现，很多数学能力优秀的学生有个共同短板：表达能力。
有人形容美国前总统比尔·克林顿极具个人魅力，说他一走进会议室，人们看到他的表情、听到他说话，就会立刻爱上他。
优秀的数学人才也需要这种能力。于是我们设计了一个方案：两名高中生共同直播授课时，每名高中生面前有两块屏幕，一块连接低龄学生，另一块连接后台的表演教练，这是我们请来的专业演员。
演员通过文字实时反馈高中生授课时的表达方式与节奏。有点像直播节目的导播，也像一支站在授课者身后的啦啦队。
我最担心的是，培养出只会吸引资源、却不为别人创造价值的人。所以，这个项目需要筛选参与者。
申请者需要录制一段约十分钟的视频，内容是解释一道数学题。很多人以为这是在判断数学能力，但我们更关注的是表达状态。申请材料需要提交老师的推荐信，内容得是用具体事例介绍学生的合作能力。
最后，还有一场1小时左右的线上面试，聊数学之外的事。我们会问申请者：你喜欢做什么？以后想做什么？
目前，每年有一百多名高中生参与直播项目，教几千名孩子。规模还在持续增长，目标是将来每年能够影响十万人以上。
支撑直播授课项目运转的是一家公司，但我的理想更接近于一个社会实验项目。为了避免干扰项目方向，我没有接受外部投资。在线付费课程的收入和社会捐赠，可以为资源不足的学生提供教育。
过去两个学期，我去了乡村和贫困地区的学校。进入课堂时，我不会让学生知道自己的背景。我希望他们把我当作普通代课老师，这样才能看到最真实的反应。
学校里的老师只在上课前介绍：“今天来了一位代课老师，他叫Mr. Po（注：博老师）。”
我会问：“你们上一节数学课学了什么？”根据基础水平，现场设计新问题。
然后，我说：“现在我不告诉你怎样做，你们自己想。”很多孩子一开始不舒服，因为他们习惯老师直接示范第一步、第二步。但片刻后，他们会开始提出自己的想法。
我曾经在英国伯明翰一个贫困社区的学校给七年级学生上课。课程结束后，有个女生举手说：“这堂课很好玩。这好像是我们整个学期第一次在数学课堂上真正思考。”那时已经是12月，学期期末了。
在美国俄克拉荷马州一所乡村学校，我问学生长大后想做什么。一个在课堂上有很多新想法的男生说，他想当农民。下课后，他的老师告诉我，男孩的父亲就是农民，而且拥有多项农具研发专利。
未来，我会继续去乡村，去那些只有个位数学生的课堂，跟孩子们说：我是Mr. Po，这道题你们有什么想法？
等他们开始思考、争论的时候，我可能还会想起，那个在1994年某个周末下午坐在初中同学父亲办公室里、手里拿着披萨、面前摊着陌生数学题的男孩。
海报设计 徐佳敏
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